Question

20．已知M、N分別是四面體OABC的棱OA，BC的中點，點P在線MN上，且MP=2PN，設(shè)向量$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{OP}$=（　　）

• A． $\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{c}$
• B． $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{c}$
• C． $\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{c}$
• D． $\frac{1}{3}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow$+$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{c}$

Answer 1

分析 利用空間向量的三角形法則、平行四邊形法則，把$\overrightarrow{OP}$用$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$和$\overrightarrow{OA}$線性表示即可．

解答 解：如圖所示，
$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{ON}$+$\overrightarrow{NP}$，$\overrightarrow{ON}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$），$\overrightarrow{NP}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NM}$，$\overrightarrow{NM}$=$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{ON}$，$\overrightarrow{OM}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$．
∴$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{ON}$+$\overrightarrow{NP}$
=$\overrightarrow{ON}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{NM}$
=$\overrightarrow{ON}$+$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{ON}$）
=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{ON}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OM}$
=$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$）+$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{OA}$
=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OC}$
=$\frac{1}{6}$$\overrightarrow{a}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{c}$．
故選：C．

點評 本題考查了空間向量的線性運(yùn)算問題，考查了數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．