Question

設(shè)a＞0，a≠1，函數(shù)f（x）=log_a|ax²-x|在[3，4]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：畫出函數(shù)t=|ax²-x|的圖象，由題意可得，當(dāng)a＞1時，t=|ax²-x|在[3，4]上是增函數(shù)，有3＞

1

a

，或4

1

2a

，當(dāng) 1＞a＞0時，t=|ax²-x|在[3，4]上是減函數(shù)，有

1

2a

≤3，且4＜

1

a

，分別求出a的取值范圍，再取并集．

解答： 解：令|ax²-x|=t，則 t＞0，故 x≠0 且 x≠

1

a

，如圖所示：
由題意可得，當(dāng)a＞1時，t=|ax²-x|在[3，4]上是增函數(shù)，
應(yīng)有3＞

1

a

，或4

1

2a

，解得 a＞1．
當(dāng) 1＞a＞0時，由題意可得 t=|ax²-x|在[3，4]上是減函數(shù)，

1

2a

≤3，且4＜

1

a

，解得

1

6

≤a＜

1

4

．
綜上，a＞1或

1

6

≤a＜

1

4

．

點評：本題考查對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點，求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．