Question

19．已知正四面體棱長均為4，求正四面體的高與斜高．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，作出正四面體的高與斜高，然后求解直角三角形得答案．

解答 解：如圖，

過A作AO⊥底面BCD，垂足為O，
∵四面體為正四面體，∴O為底面正三角形的中心，
連接CO并延長，交BD于G，連接AG，則AG為正四面體的斜高．
∵底面邊長為4，∴$CO=\frac{2}{3}CG=\frac{2}{3}\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
則OG=$\frac{1}{2}CO=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴AO=$\sqrt{A{C}^{2}-C{O}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}-（\frac{4\sqrt{3}}{3}）^{2}}=\frac{4\sqrt{6}}{3}$；
AG=$\sqrt{O{A}^{2}+O{G}^{2}}=\sqrt{（\frac{4\sqrt{6}}{3}）^{2}+（\frac{2\sqrt{3}}{3}）^{2}}=12\sqrt{3}$．

點評 本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力和思維能力，是基礎(chǔ)題．