Question

8．一書(shū)架有五層，從下到上依次稱(chēng)為第1層，第2層，…，第5層，今把15冊(cè)圖書(shū)分放到書(shū)架的各層上，有些層上可以不放，證明：無(wú)論怎樣放法，書(shū)架每層上的圖書(shū)冊(cè)數(shù)，以及相鄰兩層上的圖書(shū)冊(cè)數(shù)之和，這些數(shù)中至少有兩個(gè)是相等的．

Answer 1

分析 用x_i表示第i層所放的圖書(shū)冊(cè)數(shù)，i=1，2，3，4，5．對(duì)于出現(xiàn)某個(gè)x_i=0的情形，結(jié)論顯然成立．因此，只須考慮x_i≥1（i=1，2，3，4，5）的情形．可分為兩種情形，利用抽屜原理，即可得出結(jié)論．

解答 證明：用x_i表示第i層所放的圖書(shū)冊(cè)數(shù)，i=1，2，3，4，5．對(duì)于出現(xiàn)某個(gè)x_i=0的情形，結(jié)論顯然成立．
因此，只須考慮x_i≥1（i=1，2，3，4，5）的情形．可分為兩種情形：
（1）x₁，x₂，x₃，x₄，x₅中某兩個(gè)數(shù)相等，則結(jié)論成立；
（2）x₁，x₂，x₃，x₄，x₅各不相等，這時(shí)這五個(gè)數(shù)必各取1，2，3，4，5之一，且兩兩不同．考慮x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，x₁+x₂，x₂+x₃，x₃+x₄，x₄+x₅這九個(gè)數(shù)，最大的可能是9，最小的可能是1．
如果這九個(gè)數(shù)中有某一個(gè)為9，則必是由4+5構(gòu)成，此時(shí)，無(wú)論怎樣放，都不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)8冊(cè)和7冊(cè)．因此這九個(gè)數(shù)只有八種可能，必有兩數(shù)相等．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽屜原理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．