Question

7．（1）已知橢圓：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，過左焦點F作傾斜角為$\frac{π}{6}$的直線交橢圓A、B兩點，求弦AB的長；
（2）已知橢圓4x²+y²=1及直線y=x+m，若直線被橢圓截得的弦長為$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，求直線的方程．

Answer 1

分析 （1）由已知橢圓方程求出左焦點坐標(biāo)，得到直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，由根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B的橫坐標(biāo)的和與積，代入弦長公式求得答案；
（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0，求得m的范圍，再由弦長公式求得m值，驗證滿足判別式求得答案．

解答 解：（1）由橢圓：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，得a²=9，b²=1，則$c=\sqrt{{a}^{2}-^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴F（$-2\sqrt{2}，0$），直線AB的斜率k=tan$\frac{π}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AB所在直線方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}（x+2\sqrt{2}）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{3}}{3}x}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得$4{x}^{2}+12\sqrt{2}x+15=0$．
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則${x}_{1}+{x}_{2}=-3\sqrt{2}{，x}_{1}{x}_{2}=\frac{15}{4}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}}•\sqrt{（-3\sqrt{2}）^{2}-4×\frac{15}{4}}=2$；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得5x²+2mx+m²-1=0．
△=4m²-20（m²-1）=20-16m²＞0，得$-\frac{\sqrt{5}}{2}＜m＜\frac{\sqrt{5}}{2}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2m}{5}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-1}{5}$，
由$\sqrt{2}•\sqrt{（-\frac{2m}{5}）^{2}-4×\frac{{m}^{2}-1}{5}}=\frac{2\sqrt{10}}{5}$，解得m=0，
驗證m=0滿足$-\frac{\sqrt{5}}{2}＜m＜\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴直線的方程為y=x．

點評 本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，考查了橢圓方程及弦長公式的運用，是中檔題．