Question

如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=

2

，BC=

2

2

，AA₁=1，E是C₁D₁的中點(diǎn)，求證：平面AA₁E⊥平面BB₁E．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明A₁E⊥平面BB₁E，即可證明平面AA₁E⊥平面BB₁E．

解答： 證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（

2

2

，0，0），E（0，

2

2

，1），B（

2

2

，

2

，0），A₁（

2

2

，0，1），B₁（

2

2

，

2

，1）
∴

BE

=（-

2

2

，

2

2

-

2

，1），

A1E

=（-

2

2

，

2

2

，0），

B1E

=（-

2

2

，

2

2

-

2

，0）
∵

A1E

•

BE

=0，

A1E

•

B1E

=0，
∴A₁E⊥BE，A₁E⊥B₁E，
∴A₁E⊥平面BB₁E
∵A₁E?平面AA₁E
∴平面AA₁E⊥平面BB₁E

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面垂直的證明，平面與平面垂直的判定，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用，屬于基本知識(shí)的考查．