Question

【題目】如圖，多面體, , ,且兩兩垂直．給出下列四個(gè)命題：

①三棱錐的體積為定值；

②經(jīng)過(guò)四點(diǎn)的球的直徑為;

③直線(xiàn)∥平面；

④直線(xiàn)所成的角為；

其中真命題的個(gè)數(shù)是（�。�

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

由題意，只要構(gòu)造長(zhǎng)方體，設(shè)OA=x，OB=y，OC=z，則x2+y2=2，x2+z2=4，y2+z2=4，解得，x=1，y=1，z=，運(yùn)用棱錐的體積公式，即可判斷①；運(yùn)用異面直線(xiàn)所成角的定義，即可判斷②；球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D兩點(diǎn)的球的直徑即為長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，即可判斷③；由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，即可判斷④．

由題意，構(gòu)造長(zhǎng)方體，如右圖，設(shè)OA=x，OB=y，OC=z，

則x2+y2=2，x2+z2=4，y2+z2=4，解得，x=y=1，z=，

對(duì)于①，三棱錐O﹣ABC的體積為OC×OA×OB=，故①對(duì)；

對(duì)于②，球面經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B、C、D兩點(diǎn)的球的直徑即為長(zhǎng)方體的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，

即為，故②對(duì)；

對(duì)于③，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，則OB和平面ACD相交，故③錯(cuò)．

對(duì)于④，由于OB∥AE，則∠DAE即為直線(xiàn)AD與OB所成的角，

由tan∠DAE=，則∠DAE=60°，故④對(duì)；

故選：C