Question

17．若函數(shù)f（x）=（x+1）²-alnx在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)任取有兩個不相等的實數(shù)x₁，x₂，不等式$\frac{{f（{{x_1}+1}）-f（{{x_2}+1}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞1恒成立，則a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，3）
• B． （-∞，-3）
• C． （-∞，3]
• D． （-∞，-3]

Answer 1

分析 由條件可知f′（x）＞1在（1，+∞）上恒成立，分離參數(shù)得a＜2x（x+1）-1，求出函數(shù)的最小值即可得出a的范圍．

解答 解：∵$\frac{{f（{{x_1}+1}）-f（{{x_2}+1}）}}{{{x_1}-{x_2}}}$＞1恒成立，
∴f′（x）=2（x+1）-$\frac{a}{x}$＞1在（1，+∞）上恒成立，
∴a＜2x（x+1）-x=2x²+x在（1，+∞）恒成立，
令g（x）=2x²+x，則g（x）的圖象開口向上，對稱軸為x=-$\frac{1}{4}$，
∴g（x）＞g（1）=3，
∴a≤3．
故選C．

點評 本題考查了函數(shù)的恒成立問題研究，函數(shù)最值得計算，屬于中檔題．