Question

19．若函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$），如圖所示
（1）求f（x）的解析式
（2）若方程f（x）=m在x∈[0，$\frac{π}{2}$]有且只有一個(gè)實(shí)根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由圖象可以直接得到A，$\frac{3}{4}$T，代入周期公式求得ω，然后再由五點(diǎn)作圖的第一個(gè)點(diǎn)可得φ得值，則函數(shù)的解析式可求．
（2）由已知可求2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，數(shù)形結(jié)合可求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由圖可知，A=2，$\frac{3}{4}$T=$\frac{2π}{3}$-（-$\frac{π}{12}$）=$\frac{3π}{4}$，
∴T=π，即$\frac{2π}{ω}$=π，解得：ω=2．
由五點(diǎn)作圖的第一個(gè)點(diǎn)可得：2×（-$\frac{π}{12}$）+φ=0，解得：φ=$\frac{π}{6}$．
∴函數(shù)的解析式為y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-$\frac{1}{2}$，1]，可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，2]，
在坐標(biāo)系中畫出y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）的圖象與y=m的圖象，圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，
由圖可得：m=2或m∈[-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)解析式，考查數(shù)形結(jié)合求出函數(shù)的圖象的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，考查計(jì)算能力，是中檔題．