Question

已知函數(shù)f（x）=ax-xlnx，a∈R．
（1）若f（x）≤1恒成立，求a的取值范圍；
（2）設(shè)n∈N^*，求證：ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）函數(shù)f（x）=ax-xlnx，a∈R．x＞0．f（x）≤1恒成立?a≤(

1

x

+lnx)min．令g（x）=

1

x

+lnx（x＞0），利用導(dǎo)數(shù)求出最小值即可得出．
（2）由（1）可得：當(dāng)x＞1時(shí)，

1

x

+lnx＞1，化為lnx＞1-

1

x

，令x=1+

1

n

，n∈N^*，n≥2．可得ln(1+

1

n

)＞1-

n

1+n

=

1

1+n

，可得ln（1+n）-lnn＞

1

1+n

，分別取n=1，2，3，…，利用“累加求和”．

解答： （1）解：函數(shù)f（x）=ax-xlnx，a∈R．x＞0．f（x）≤1恒成立?a≤(

1

x

+lnx)min．
令g（x）=

1

x

+lnx（x＞0），g′（x）=-

1

x2

+

1

x

=

x-1

x2

，
當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞增；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)g（x）單調(diào)遞減．
∴g（x）_min=g（1）=1，∴a≤1．
∴a的取值范圍是（-∞，1]．
（2）證明：由（1）可得：當(dāng)x＞1時(shí)，

1

x

+lnx＞1，
化為lnx＞1-

1

x

，
令x=1+

1

n

，n∈N^*，n≥2．
則ln(1+

1

n

)＞1-

n

1+n

=

1

1+n

，
∴l(xiāng)n（1+n）-lnn＞

1

1+n

，
分別取n=1，2，3，…，
可得ln2-ln1＞

1

2

，
ln3-ln2＞

1

3

，
…，
ln（n+1）-lnn＞

1

1+n

．
累加求和可得：ln（n+1）＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值、恒成立問題的等價(jià)轉(zhuǎn)化方法，考查了利用已經(jīng)證明的結(jié)論證明不等式的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．