Question

如圖，正四棱錐S-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)是底面邊長(zhǎng)為

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倍，O為底面對(duì)角線的交點(diǎn)，P為側(cè)棱SD上的點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥SD；
（2）F為SD的中點(diǎn)，若SD⊥平面PAC，求證：BF∥平面PAC．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：證明題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接SO，可證SO⊥AC，又SO∩BD=O，可證明AC⊥平面SBD，又SD?平面SBD，即可證明AC⊥SD．
（Ⅱ）連接OP，可證OP⊥SD，又△SBD中，BD=

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a=SB，且F為SD中點(diǎn)，可證BF⊥SD，由OP，BF?平面BDF，可證OP∥BF，又OP?平面ACP，BD?平面ACP，BF?平面PAC，即可證明BF∥平面PAC．

解答： 證明：（Ⅰ）連接SO，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AC⊥BD且O為AC中點(diǎn)，
又∵SA=SC    
∴SO⊥AC
又∵SO∩BD=O，
∴AC⊥平面SBD，（5分）
又∵SD?平面SBD，
∴AC⊥SD．（7分）
（Ⅱ）連接OP，
∵SD⊥平面ACP，OP?平面ACP，
∴OP⊥SD，（9分）
又△SBD中，BD=

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a=SB，且F為SD中點(diǎn)，∴BF⊥SD，
因?yàn)镺P，BF?平面BDF，所以O(shè)P∥BF，（11分）
又∵OP?平面ACP，BD?平面ACP，BF?平面PAC，
∴BF∥平面PAC．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及直線與平面垂直的性質(zhì)，涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較多，知識(shí)性技巧性都很強(qiáng)，屬于中檔題．