Question

15．已知定理：如果二次曲線Ax²+Cy²+Dx+Ey+F=0與直線mx+ny+q=0（q≠0）有兩個公共點P、Q，O是坐標原點，則OP⊥OQ的充要條件是（A+C）q²-（mD+nE）q+（m²+n²）F=0．
（1）試根據(jù)上述定理，寫出直線l：x+2y-3=0與圓C：x²+y²+x-6y+c=0相交于P，Q，坐標原點為O，且OP⊥OQ的充要條件，并求c的值；
（2）若橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1與直線mx+ny+q=0相交兩點P、Q，而且OP⊥QQ，試判斷直線PQ與圓x²+y²=$\frac{1}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}}$的位置關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)新定義得出充要條件，計算c；
（2）根據(jù)定理得出OP⊥OQ的充要條件，計算圓的半徑r和圓心到直線PQ的距離d，根據(jù)充要條件得出d，r的關(guān)系，得出結(jié)論．

解答 解：（1）由定理可知OP⊥OQ的充要條件為：2×（-3）²-（2-12）×（-3）+（1+4）c=0，
即18-30+5c=0，∴c=$\frac{12}{5}$．
（2）∵橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1與直線mx+ny+q=0相交兩點P、Q，
∴（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$）q²-（m²+n²）=0，即$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=$\frac{{m}^{2}+{n}^{2}}{{q}^{2}}$．
∴圓x²+y²=$\frac{1}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}}$的半徑為r=$\sqrt{\frac{1}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}}}$=$\sqrt{\frac{{q}^{2}}{{m}^{2}+{n}^{2}}}$=$\frac{|q|}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$，
又圓心（0，0）到直線PQ的距離為d=$\frac{|q|}{\sqrt{{m}^{2}+{n}^{2}}}$，
∴d=r，
∴直線PQ與圓x²+y²=$\frac{1}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}}$相切．

點評 本題考查了對新定理的理解與應用，直線與圓的位置關(guān)系判斷，屬于中檔題．