Question

4．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的左、右焦點，過F₂作直線l交橢圓于A、B兩點，若△F₁AB的周長為8．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線l的斜率為0，且它的中垂線與y軸交于Q，求Q的縱坐標的范圍；
（Ⅲ）是否在x軸上存在點M（m，0），使得x軸平分∠AMB？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的性質可知：4a=8，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$及b²=a²-c²，即可求得a和b的值，即可求得橢圓的方程；
（Ⅱ）當k不存在時，Q為原點，y₀=0，當k存在時，將直線方程代入橢圓方程，求得關于x的一元二次方程，利用韋達定理求得x₁+x₂及x₁•x₂，根據(jù)中點坐標公式，求得P點坐標，求得直線PQ方程，令x=0，y_Q=$\frac{-k}{3+4{k}^{2}}$∈[-$\frac{\sqrt{3}}{12}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{12}$]，即可求得Q的縱坐標的范圍；
（Ⅲ）假設存在m，由x軸平分∠AMB可得，$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}-m}$+$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{2}-m}$=0，由（Ⅱ）可知，代入即可求得m的值．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的性質可知：4a=8，a=2，
e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，c=1，
b²=a²-c²=4-1=3，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的方程$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）當k不存在時，Q為原點，y₀=0，
當k存在時，由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，整理得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=1，
∴x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
設弦AB的中點為P（x_P，y_P），則x_P=$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，y_P=k（x_P-1）=$\frac{-3k}{3+4{k}^{2}}$，
則l_PQ：（y+$\frac{3k}{3+4{k}^{2}}$）=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{4{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$），
令x=0，有y_Q=$\frac{-k}{3+4{k}^{2}}$∈[-$\frac{\sqrt{3}}{12}$，0）∪（0，$\frac{\sqrt{3}}{12}$]，
∴綜上所述，Q的縱坐標的范圍[-$\frac{\sqrt{3}}{12}$，$\frac{\sqrt{3}}{12}$]；
（Ⅲ）存在m=4，
假設存在m，由x軸平分∠AMB可得，k_MA+k_MB=0，
即$\frac{{y}_{1}-0}{{x}_{1}-m}$+$\frac{{y}_{0}-0}{{x}_{2}-m}$=0，
k（x₁-1）（x₂-m）+k（x₂-1）（x₁-m）=0，
∴2x₁•x₂-（m+1）（x₁+x₂）+2m=0，
∴8k²-24-8k²m-8k²+6m+8mk²=0，
解得：m=4．

點評 本題考查橢圓的標準方程及其簡單性質，考查直線與橢圓的位置關系，韋達定理得應用，考查計算能力，屬于中檔題．