如圖,已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和為,線段的長(zhǎng)為.

(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡;
(2)當(dāng)時(shí),過(guò)點(diǎn)作直線與軌跡交于、兩點(diǎn),且點(diǎn)在線段的上方,線段的垂直平分線為
①求的面積的最大值;
②軌跡上是否存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(1)參考解析;(2)①;②參考解析

解析試題分析:(1)由于c的大小沒(méi)確定,所以點(diǎn)A的軌跡,根據(jù)c的大小有三種情況.
(2)①由可得點(diǎn)A的軌跡方程為橢圓,求的面積的最大值即求出點(diǎn)A到直線距離的最大值.即點(diǎn)A在橢圓的上頂點(diǎn)上即可.本小題通過(guò)建立三角函數(shù)同樣可以求得三角形面積最大時(shí)的情況.
②當(dāng)時(shí),顯然存在除外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱.當(dāng)直線AC不垂直于時(shí),不存在除、外的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對(duì)稱.通過(guò)假設(shè)存在,利用點(diǎn)差法即可得到,.由于H,M分別是兩條弦的中點(diǎn),并且都被直線m平分.所以.由.所以不存在這樣的直線.
試題解析:(1)當(dāng)時(shí),軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓3分
當(dāng)時(shí),軌跡是線段4分
當(dāng)時(shí),軌跡不存在5分
(2)以線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,
可得軌跡的方程為7分
①解法1:設(shè)表示點(diǎn)到線段的距離
,8分
要使的面積有最大值,只要有最大值
當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合時(shí),
的最大值為10分
解法2:在橢圓中,設(shè),記
點(diǎn)在橢圓上,由橢圓的定義得:

中,由余弦定理得:
配方,得:
從而

8分
根據(jù)橢圓的對(duì)稱性,當(dāng)最大時(shí),最大
當(dāng)點(diǎn)與橢圓的上頂點(diǎn)重合時(shí),
最大值為10分
②結(jié)論:當(dāng)時(shí),顯然存在除、外的兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知、為橢圓的左右焦點(diǎn),點(diǎn)為其上一點(diǎn),且有
.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),過(guò)平行的直線與橢圓交于、兩點(diǎn),求四邊形的面積的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

設(shè)橢圓的中心和拋物線的頂點(diǎn)均為原點(diǎn),、的焦點(diǎn)均在軸上,過(guò)的焦點(diǎn)F作直線,與交于A、B兩點(diǎn),在、上各取兩個(gè)點(diǎn),將其坐標(biāo)記錄于下表中:


(1)求,的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若交于C、D兩點(diǎn),的左焦點(diǎn),求的最小值;
(3)點(diǎn)上的兩點(diǎn),且,求證:為定值;反之,當(dāng)為此定值時(shí),是否成立?請(qǐng)說(shuō)明理由.

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設(shè):的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn),焦點(diǎn)為;橢圓為焦點(diǎn),離心率.設(shè)的一個(gè)交點(diǎn).

(1)當(dāng)時(shí),求橢圓的方程.
(2)在(1)的條件下,直線過(guò)的右焦點(diǎn),與交于兩點(diǎn),且等于的周長(zhǎng),求的方程.
(3)求所有正實(shí)數(shù),使得的邊長(zhǎng)是連續(xù)正整數(shù).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓C:=1的離心率為,左焦點(diǎn)為F(-1,0),
(1)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F且斜率為k的直線L與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若,求直線L的方程;
(2)橢圓C上是否存在三點(diǎn)P,E,G,使得SOPE=SOPG=SOEG

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知橢圓ab0)的離心率為,且過(guò)點(diǎn)().
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)直線l:y=kx+t與圓(1<R<2)相切于點(diǎn)A,且l與橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)B.
①求證:;
②當(dāng)R為何值時(shí),取得最大值?并求出最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

橢圓c:(a>b>0)的離心率為,過(guò)其右焦點(diǎn)F與長(zhǎng)軸垂直的弦長(zhǎng)為1,
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)橢圓C的左右頂點(diǎn)分別為A,B,點(diǎn)P是直線x=1上的動(dòng)點(diǎn),直線PA與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為M,直線PB與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N,求證:直線MN經(jīng)過(guò)一定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)為拋物線上的一點(diǎn),其縱坐標(biāo)為.
(1)求拋物線的方程;
(2)設(shè)為拋物線上不同于的兩點(diǎn),且,過(guò)兩點(diǎn)分別作拋物線的切線,記兩切線的交點(diǎn)為,求的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

的內(nèi)切圓與三邊的切點(diǎn)分別為,已知,內(nèi)切圓圓心,設(shè)點(diǎn)A的軌跡為R.

(1)求R的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)C的動(dòng)直線m交曲線R于不同的兩點(diǎn)M,N,問(wèn)在x軸上是否存在一定點(diǎn)Q(Q不與C重合),使恒成立,若求出Q點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.

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