已知橢圓C:=1的離心率為,左焦點(diǎn)為F(-1,0),
(1)設(shè)A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率為k的直線L與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),若,求直線L的方程;
(2)橢圓C上是否存在三點(diǎn)P,E,G,使得SOPE=SOPG=SOEG?

(1) ; (2) 橢圓上不存在滿足條件的三點(diǎn)

解析試題分析:(1) 由已知 可解得 ,即橢圓方程為 。可得 。根據(jù)點(diǎn)斜式可得直線即直線方程為,將直線方程和橢圓方程聯(lián)立消去整理為關(guān)于的一元二次方程,可得根與系數(shù)的關(guān)系。再根據(jù)可求得的值,即可得所求直線方程。 (2)根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線可設(shè)兩點(diǎn)確定的直線為 l,注意討論直線的斜率存在與否,用弦長公式可得的長,用點(diǎn)到線的距離公式可得點(diǎn)到線的距離,從而可得三角形面積。同理可得另兩個(gè)三角形面積,聯(lián)立方程可得三點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的平方,根據(jù)三點(diǎn)坐標(biāo)判斷能否與點(diǎn)構(gòu)成三角形,若能說明存在滿足要求的三點(diǎn)否則說明不存在。
試題解析:(1)由題意:橢圓的方程為.
設(shè)點(diǎn),由得直線的方程為
由方程組消去,整理得
可得,.
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/ca/6/xnaba1.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以


由已知得,解得.
故所求直線的方程為:
(2) 假設(shè)存在滿足.
不妨設(shè)兩點(diǎn)確定的直線為 l,
(ⅰ)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí), 兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱,
所以,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/2c/4/mrhnb.png" style="vertical-align:middle;" />在橢圓上,
所以.①
又因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/c0/0/rgnvt2.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以|,②
由①、②得,
此時(shí).
(ⅱ)當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為,
由題意知,將其代入

其中,
,(★)
,
所以.
因?yàn)辄c(diǎn)到直線l的距離為,
所以.
,
整理得 ,且符合(★)式.
此時(shí),
.
綜上所述,,結(jié)論成立.
同理可得:,
解得;

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

設(shè)橢圓C1=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為為恰是拋物線C2的焦點(diǎn),點(diǎn)M為C1與C2在第一象限的交點(diǎn),且|MF2|=
(1)求C1的方程;
(2)平面上的點(diǎn)N滿足,直線l∥MN,且與C1交于A,B兩點(diǎn),若,求直線l的方程.

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如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓的離心率為,過橢圓右焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦.當(dāng)直線斜率為0時(shí),

(1)求橢圓的方程;
(2)求的取值范圍.

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已知橢圓C: (a>b>0)的離心率為,且橢圓C上一點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)F1,F(xiàn)2構(gòu)成的三角形的周長為2+2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過右焦點(diǎn)F2作直線l 與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),設(shè),若,求的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,已知平面內(nèi)一動點(diǎn)到兩個(gè)定點(diǎn)、的距離之和為,線段的長為.

(1)求動點(diǎn)的軌跡;
(2)當(dāng)時(shí),過點(diǎn)作直線與軌跡交于、兩點(diǎn),且點(diǎn)在線段的上方,線段的垂直平分線為
①求的面積的最大值;
②軌跡上是否存在除、外的兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱,請說明理由.

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已知橢圓)的右焦點(diǎn)為,且橢圓過點(diǎn)
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)、,以線段為底邊作等腰三角形,其中頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,求△的面積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

(理)已知點(diǎn)是平面直角坐標(biāo)系上的一個(gè)動點(diǎn),點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離的2倍.記動點(diǎn)的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程;
(2)斜率為的直線與曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn),若直線不過點(diǎn),設(shè)直線的斜率分別為,求的數(shù)值;
(3)試問:是否存在一個(gè)定圓,與以動點(diǎn)為圓心,以為半徑的圓相內(nèi)切?若存在,求出這個(gè)定圓的方程;若不存在,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知拋物線上的任意一點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)的距離比該點(diǎn)到軸的距離多1.

(1)求的值;
(2)如圖所示,過定點(diǎn)(2,0)且互相垂直的兩條直線、分別與該拋物線分別交于、四點(diǎn).
(i)求四邊形面積的最小值;
(ii)設(shè)線段、的中點(diǎn)分別為兩點(diǎn),試問:直線是否過定點(diǎn)?若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,動點(diǎn)與兩定點(diǎn)構(gòu)成,且,設(shè)動點(diǎn)的軌跡為

(1)求軌跡的方程;
(2)設(shè)直線軸相交于點(diǎn),與軌跡相交于點(diǎn),且,求的取值范圍.

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