Question

17．三棱錐S-ABC及其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則棱SB的長為4$\sqrt{2}$；直線SB與AC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

Answer 1

分析 由已知中的三視圖可得SC⊥平面ABC，底面△ABC為等腰三角形，SC=4，△ABC中AC=4，AC邊上的高為2$\sqrt{3}$，進而根據(jù)勾股定理得到答案．建立如圖所示的坐標系，利用向量方法求解即可．

解答 解：由已知中的三視圖可得SC⊥平面ABC，
且底面△ABC為等腰三角形，
在△ABC中AC=4，AC邊上的高為2$\sqrt{3}$，
故BC=4，∠ACB=60°
在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4$\sqrt{2}$，
建立如圖所示的坐標系，則S（0，0，4），B（2$\sqrt{3}$，-2，0），A（0，-4，0），C（0，0，0），
∴$\overrightarrow{SB}$=（2$\sqrt{3}$，-2，-4），$\overrightarrow{AC}$=（0，4，0），
∴直線SB與AC所成角的余弦值為|$\frac{8}{\sqrt{12+4+16}•4}$|=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
故答案為4$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

點評 本題考查的知識點是簡單空間圖象的三視圖，其中根據(jù)已知中的視圖分析出幾何體的形狀及棱長是解答的關(guān)鍵．