Question

5．函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+x+1$有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a取值范圍是（-∞，-1）∪（1，+∞）．

Answer 1

分析 先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值，可得f′（x）=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，從而可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：求導(dǎo)函數(shù)可得，f′（x）=x²+2ax+1，
∵函數(shù)f（x）既有極大值又有極小值，
∴f′（x）=x²+2ax+1=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
∴△=4a²-4＞0，
∴a＞1或a＜-1，
故答案為：（-∞，-1）∪（1，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查解不等式，屬于基礎(chǔ)題．