已知中心在坐標原點的雙曲線C的右焦點為（2，0），左頂點為（-
3
，0）．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若直線l：y=kx+
2
與雙曲線C恒有兩個不同的公共點A，B，且
OA
•
OB
＞2（其中O為坐標原點），求k的取值范圍．
考點：雙曲線的簡單性質
專題：計算題,平面向量及應用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）由雙曲線的右焦點與左頂點易知其標準方程中的c、a，進而求得b，則雙曲線標準方程即得；
（2）首先把直線方程與雙曲線方程聯(lián)立方程組，然后消y得x的方程，由于直線與雙曲線恒有兩個不同的交點，則關于x的方程必為一元二次方程且判別式大于零，由此求出k的一個取值范圍；再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關系用k的代數(shù)式表示出x1+x2，x1x2，進而把條件
OA
•
OB
＞2轉化為k的不等式，又求出k的一個取值范圍，最后求k的交集即可．
解答： 解：（1）設雙曲線方程為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）．
由已知得a=
3
，c=2，b=
c2-a2
=1．
故雙曲線C的方程為
x2
3
-y2=1；
（2）將y=kx+
2
代入雙曲線方程
x2
3
-y2=1，可得（1-3k2）x2-6
2
kx-9=0，
由直線l與雙曲線交于不同的兩點得
1-3k2≠0
△=(6
2
k)2+36(1-3k2)＞0

即k2≠
1
3
且k2＜1．①
設A（x1，y1），B（x2，y2），
則x1+x2=
6
2
k
1-3k2
x1x2=
-9
1-3k2
，由
OA
•
OB
＞2，即有x1x2+y1y2＞2，
而x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+
2
）（kx2+
2
）=（k2+1）x1x2+
2
k（x1+x2）+2
=（k2+1）•
-9
1-3k2
+
2
k•
6
2
k
1-3k2
+2=
3k2+7
3k2-1
，
于是
3k2+7
3k2-1
＞2，即
1
3
＜k2＜3②
由①、②得
1
3
＜k2＜1．
故k的取值范圍為（-1，-
3
3
）∪（
3
3
，1）．
點評：本題考查雙曲線的標準方程與性質以及直線和圓錐曲線的位置關系，考查平面向量的數(shù)量積的坐標表示，綜合性強，字母運算能力是一大考驗．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知平面上的線段l及點P，任取l上一點Q，線段PQ長度的最小值稱為點P到線段l的距離，記作d（P，l）
①若點P（1，1），線段l：x-y-3=0（3≤x≤5），則d（P，l）=
5
；
②設l是長為2的定線段，則集合D={P|d（P，l）≤1}所表示的圖形面積為4；
③若A（1，3），B（1，0），C（-1，3），D（-1，0），線段l1：AB，l2：CD，則到線段l1，l2距離相等的點的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x=0}；
④若A（-1，0），B（1，0），C（0，-1），D（0，1），線段l1：AB，l2：CD，則到線段l1，l2距離相等的點的集合D={P|d（P，l1）=d（P，l2）}={（x，y）|x2-y2=0}．
其中正確的有
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列函數(shù)中，定義域是（0，+∞）的函數(shù)是（　�。�
A、y=x3
B、y=x
1
2
C、y=x-
1
2
D、y=x
1
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A{x|y=lg（2-x）}，集合B={x|-2≤x≤2}，則A∩B=（　　）
A、{x|x≥-2}
B、{x|-2＜x＜2}
C、{x|-2≤x＜2}
D、{x|x＜2}

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等腰梯形PDCB中（如圖），PB=3，DC=1，PD=BC=
2
，A為PB邊上一點，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD．
（Ⅰ）證明：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）試在棱PB上確定一點M，使截面AMC把該幾何體分成的兩部分PDCMA與MACB的體積的比為2：1；
（Ⅲ）在M滿足（Ⅱ）的情況下，求二面角M-AC-P的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2且AA1⊥平面ABC，△ABC是邊長為
3
的正三角形，該三棱柱的六個頂點都在一個球面上，則這個球的體積為（　　）
A、8π
B、
8π
3
C、
8
2
π
3
D、8
2
π

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

雙曲線
x2
12
-
y2
4
=1的漸近線與圓（x-3）2+y2=r2（r＞0）相切，則r等于（　�。�
A、
3
2
B、
6
2
C、
3
4
D、
9
4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的焦距為10，點P（1，2）在C的漸近線上，則C的方程為（　�。�
A、
x2
5
-
y2
20
=1
B、
x2
20
-
y2
5
=1
C、
x2
80
-
y2
20
=1
D、
x2
20
-
y2
80
=1

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知角α的終邊上一點的坐標為（-1，1），試求三角代數(shù)式
tan(540°+x)
tan(900°-x)
•
sin(-x)
sin(450°-x)
•
cos(360°-x)
tan(-x)
的值．

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