Question

已知等腰梯形PDCB中（如圖），PB=3，DC=1，PD=BC=

2

，A為PB邊上一點，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使面PAD⊥面ABCD．
（Ⅰ）證明：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）試在棱PB上確定一點M，使截面AMC把該幾何體分成的兩部分PDCMA與MACB的體積的比為2：1；
（Ⅲ）在M滿足（Ⅱ）的情況下，求二面角M-AC-P的余弦值．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,組合幾何體的面積、體積問題,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由已知CD⊥AD，DC⊥平面PAD，由此能證明平面PAD⊥平面PCD．
（2）由PA⊥平面ABCD，得平面PAB⊥平面ABCD，在PB上取一點M，作MN⊥AB，設(shè)MN=h，要使截面AMC把該幾何體分成的兩部分PDCMA與MACB的體積的比為2：1，需（

1

2

-

h

3

）：

h

3

=2：1，由此能求出M為PB的中點．
（3）取AB的中點N，聯(lián)結(jié)MN，連結(jié)ND與AC交于點O，聯(lián)結(jié)MO，∠MON是二面角M-AC-B的平面角，由此能求出二面角M-AC-P的余弦值．

解答： （本小題滿分12分）
（1）證明：依題意知：CD⊥AD．
又∵面PAD⊥面ABCD∴DC⊥平面PAD．…（2分）
又DC?面PCD，∴平面PAD⊥平面PCD．
（2）解：由（I）知PA⊥平面ABCD
∴平面PAB⊥平面ABCD．…（4分）
在PB上取一點M，作MN⊥AB，則MN⊥平面ABCD，
設(shè)MN=h，則VM-ABC=

1

3

S△ABC•h=

1

3

×

1

2

×2×1×h=

h

3

，
VP-ABCD=

1

3

S△ABC•PA=

1

3

×

(1+2)

2

×1×1=

1

2

…（6分）
要使VPDCMA：VMACB=2：1，即(

1

2

-

h

3

)：

h

3

=2：1，解得h=

1

2

，
即M為PB的中點．…（8分）
（3）解：取AB的中點N，聯(lián)結(jié)MN，連結(jié)ND與AC交于點O，聯(lián)結(jié)MO
則MN⊥面ABCD，所以MN⊥AC，
又ADCN為正方形，故NO⊥AC，
所以AC⊥面MNO，故MO⊥AC，
所以∠MON是二面角M-AC-B的平面角，
又由PA⊥面ABCD，知面PAC⊥面ABCD，
所以二面角M-AC-B和二面角M-AC-P互余，
設(shè)二面角M-AC-P的平面角為θ，則cosθ=sin∠MON…（10分）
在Rt△MON中，MN=

1

2

，NO=

2

2

，MO=

3

2

，cosθ=sin∠MON=

3

3

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查使截面AMC把該幾何體分成的兩部分PDCMA與MACB的體積的比為2：1的點的位置的確定與求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．