Question

19．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且離心率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$，M為橢圓上一點，△MF₁F₂的周長為2$\sqrt{3}$+2．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若直線l過點F₂，l與圓O：x²+y²=5相交于P，Q兩點，l與橢圓E相交于R，S兩點，若|PQ|∈[4，$\sqrt{19}$]，求△F₁RS的面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，2a+2c=2$\sqrt{3}$+2，由此能求出橢圓的方程．
（2）設l：x=my+1，與橢圓聯(lián)立，得（2m²+3）y²+4my-4=0，由此利用點到直線距離公式、根的判別式、韋達定理、弦長公式，結合題意條件能求出△F₁RS的面積的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，①
∵F₁，F(xiàn)₂是橢圓C的兩個焦點，P是C上任意一點，且△PF₁F₂的周長為2$\sqrt{3}$+2，
∴2a+2c=2$\sqrt{3}+2$，②
聯(lián)立①②，解得a=$\sqrt{3}$，c=1，∴b²=3-1=2，
∴橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}$=1．
（2）由題知直線l的斜率為0時不滿足題意，
設l：x=my+1，O到l的距離d=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴|PQ|=2$\sqrt{5-\frac{1}{1+{m}^{2}}}$∈[4，$\sqrt{19}$]，∴0≤m²≤3．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，得（2m²+3）y²+4my-4=0，
△=（4m）²+16（2m²+3）＞0恒成立，
設R（x₁，y₁），S（x₂，y₂），則${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{-4m}{2{m}^{2}+3}$，${y}_{1}{y}_{2}=\frac{-4}{2{m}^{2}+3}$，
∴|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{\frac{16{m}^{2}}{（2{m}^{2}+3）^{2}}+\frac{16}{2{m}^{2}+3}}$=$\frac{4\sqrt{3（{m}^{2}+1）}}{2{m}^{2}+3}$，
∴${S}_{△{F}_{1}RS}$=$\frac{1}{2}$|y₁-y₂|•|F₁F₂|=$\frac{4\sqrt{3（{m}^{2}+1）}}{2{m}^{2}+3}$，
令t=m²+1∈[1，4]，
∴${S}_{△{F}_{1}RS}=4\sqrt{\frac{3t}{（2t+1）^{2}}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{4+（4t+\frac{1}{t}）}}$，
∵f（t）=4t+$\frac{1}{t}$在[1，4]上單調(diào)遞增，∴f（t）=[5，$\frac{65}{4}$]，
∴${S}_{△{F}_{1}RS}$∈[$\frac{8\sqrt{3}}{9}，\frac{4\sqrt{3}}{3}$]，
∴△F₁RS的面積的最大值是$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，最小值是$\frac{8\sqrt{3}}{9}$．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值及最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意點到直線距離公式、根的判別式、韋達定理、弦長公式的合理運用．