Question

9．如圖，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線橢圓Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）于P，A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，B在橢圓Г上，直線AB與x軸交于點(diǎn)C．
（1）若橢圓Г的焦距為2$\sqrt{2}$，點(diǎn)P坐標(biāo)為（$\sqrt{2}$，1），求橢圓Г的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：k_BP•k_BA=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$；
（3）若BP⊥AP，PC⊥x軸，求橢圓Г的離心率．

Answer 1

分析 （1）由題意可得c=$\sqrt{2}$，即a²-b²=2，將P（$\sqrt{2}$，1）代入橢圓方程，解方程組可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），P（-x₁，-y₁），B（x₂，y₂），代入橢圓方程，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)即可得證；
（3）由兩直線垂直的條件可得k_BP•k_AP=-1，由（2）的結(jié)論，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，再由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，即可得到離心率．

解答 解：（1）由題意可得2c=2$\sqrt{2}$，即為c=$\sqrt{2}$，
即a²-b²=2，
將P（$\sqrt{2}$，1）代入橢圓方程可得，$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，
解得a=2，b=$\sqrt{2}$，
則橢圓Г的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{2}$=1；
（2）證明：設(shè)A（x₁，y₁），P（-x₁，-y₁），B（x₂，y₂），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=1，
兩式相減可得，$\frac{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{^{2}}$=0，
則k_BP•k_BA=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$•$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{{{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}}{{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}}$=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$；
（3）由BP⊥AP，可得k_BP•k_AP=-1，
由k_BP•k_BA=-$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$，可得k_AP=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$k_BA，（*）
設(shè)P（x₀，y₀），則A（-x₀，-y₀），C（x₀，0），
則k_AP=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$，k_BA=k_CA=$\frac{{y}_{0}}{2{x}_{0}}$，
代入（*），可得$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}}$=$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$•$\frac{{y}_{0}}{2{x}_{0}}$，
即有a²=2b²，由a²-b²=c²，
可得a²=2c²，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用橢圓的性質(zhì)和點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線的斜率公式和點(diǎn)差法的運(yùn)用，考查橢圓的離心率的求法，注意運(yùn)用直線的斜率公式和離心率公式，屬于中檔題．