Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得，即可得，注意檢驗(yàn)；

（2）由條件可得，在區(qū)間上恒成立，運(yùn)用參數(shù)分離，求得右邊函數(shù)的范圍，即可得到的范圍；

（3）令，則，求出導(dǎo)數(shù)，結(jié)合圖象對討論，即可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，，

所以，即，解得，

經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在處取得極小值．所以實(shí)數(shù)的值為．

（2）由（1）知，，．

因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立．

即在區(qū)間上恒成立．

易得當(dāng)時(shí)，，所以．

故實(shí)數(shù)的取值范圍為．

（3）因?yàn)?/span>，所以，．

令得，

令，，

則．

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減．

畫出函數(shù)的草圖，

易得，

并且圖象無限靠近于原點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，

故當(dāng)時(shí)，函數(shù)無零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．