Question

在△ABC中，若c⁴-2（a²+b²）c²+a⁴+a²b²+b⁴=0，則∠C等于（　　）

• A、90°
• B、120°
• C、60°
• D、120°或60°

Answer 1

分析：把已知c⁴-2（a²+b²）c²+a⁴+a²b²+b⁴=0等式通過完全平方式、拆分項(xiàng)轉(zhuǎn)化為（c²-a²-b²-ab）（c²-a²-b²+ab）=0．分兩種情況，根據(jù)余弦定理即可求得∠C的度數(shù)．

解答：解：∵c⁴-2（a²+b²）c²+a⁴+a²b²+b⁴=0，
?c⁴-2（a²+b²）c²+（a²+b²）²-a²b²=0，
?[c²-（a²+b²）]²-（ab）²=0，
?（c²-a²-b²-ab）（c²-a²-b²+ab）=0，
∴c²-a²-b²-ab=0或c²-a²-b²+ab=0，
當(dāng)c²-a²-b²+ab=0時(shí)，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

，∴∠C=60°，
當(dāng)c²-a²-b²-ab=0時(shí)，cosC=

a2+b2-c2

2ab

=-

1

2

，∴∠C=120°，
綜上可得：∠C=60°或120°．
故選D

點(diǎn)評：本題考查了余弦定理，以及因式分解的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是將原式轉(zhuǎn)化為（c²-a²-b²-ab）（c²-a²-b²+ab）=0，再利用余弦定理求得∠C的度數(shù)．