Question

（14分）已知在（其中n<15）的展開式中：

（1）求二項(xiàng)式展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和；

（2）若展開式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求n的值；

（3）在（2）的條件下寫出它展開式中的有理項(xiàng).

 

Answer 1

（1）; （2）n=14; （3）,,.

【解析】

試題分析：（1）二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和就是，由可得結(jié)果；（2）由二項(xiàng)式系數(shù)，，成等差數(shù)列，，解得n=14; （3）可知，有理項(xiàng)中知應(yīng)該是6的倍數(shù).

【解析】
（1）因?yàn)楸绢}二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)的系數(shù)就是各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

所以各項(xiàng)系數(shù)之和為 4分

（2）（其中n<15）的展開式中第9項(xiàng)，第10項(xiàng)，第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)

分別是，，．-----------6分

依題意得，寫成：， 7分

化簡得90+（n-9）(n-8)=2·10(n-8)，

即：n2-37n+322=0,解得n=14或n=23，因?yàn)閚<15所以n=14。 9分

(2)展開式的通項(xiàng)

11分

展開式中的有理項(xiàng)當(dāng)且僅當(dāng)r是6的倍數(shù)， 12分

0≤r≤14，所以展開式中的有理項(xiàng)共3項(xiàng)是：

；

；

14分

考點(diǎn)：1.二項(xiàng)式定理；2.等差數(shù)列.