已知O為坐標原點，點A、B分別在x軸，y軸上運動，且|AB|=8，動點P滿足=，設(shè)點P的軌跡為曲線C，定點為M（4，0），直線PM交曲線C于另外一點Q．
（1）求曲線C的方程；
（2）求△OPQ面積的最大值．
【答案】分析：（1）先點的坐標，得到向量的坐標，代入=，求得坐標間的關(guān)系，再由|AB|=8求得曲線的軌跡方程．
（2）由（1）可知，M（4，0）為橢圓+=1的右焦點，設(shè)直線PM方程為x=my+4，再與橢圓方程聯(lián)立，由韋達定理求得|yP-yQ|，然后由S△OPQ=|OM||yP-yQ|建立函數(shù)模型求其最值．
解答：解：（1）設(shè)A（a，0），B（0，b），P（x，y），
則=（x-a，y），=（-x，b-y），
∵=，∴∴a=x，b=y．
又|AB|==8，∴=1．
∴曲線C的方程為=1．
（2）由（1）可知，M（4，0）為橢圓的右焦點，
設(shè)直線PM方程為x=my+4，
由消去x得
（9m2+25）y2+72my-81=0，
∴|yP-yQ|==．
∴S△OPQ=|OM||yP-yQ|=2×===≤=，
當=，
即m=±時，△OPQ的面積取得最大值為，
此時直線方程為3x±y-12=0．
點評：本題主要考查軌跡方程的求法和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，以及所構(gòu)造平面圖形面積的最大，最小等問題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標原點，點A（x，y）與點B關(guān)于x軸對稱，
j
=(0，1)，則滿足不等式
OA
2+
j
•
AB
≤0的點A的集合用陰影表示（　�。�
A、精英家教網(wǎng)
B、精英家教網(wǎng)
C、精英家教網(wǎng)
D、精英家教網(wǎng)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標原點，點A（2，1），點P在區(qū)域
y≤x
x+y≥2
y＞3x-6
內(nèi)運動，則
OA
•
OP
的取值范圍為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標原點，點A（2，0），B（0，2），C（cosα，sinα），且0＜α＜π．
（Ⅰ）若
AC
•
BC
=
3
5
，求tanα的值；
（Ⅱ）若|
OA
+
OC
|=
7
，求
OB
與
OC
的夾角．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•天河區(qū)三模）已知O為坐標原點，點M坐標為（-2，1），在平面區(qū)域
x≥0
x+y≤2
y≥0
上取一點N，則使|MN|為最小值時點N的坐標是（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知O為坐標原點，點P（x，y），其中x，y滿足
x+2y-5≤0
x+2y-3≥0
x≥1
y≥0
，則直線OP的斜率的最大值為
2
2
．

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