Question

4．在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{m}+\frac{1}{\sqrt{m}}}\\{y=\sqrt{m}-\frac{1}{\sqrt{m}}}\end{array}\right.$（m為參數(shù)），直線l交曲線C₁于A，B兩點；以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C₂的極坐標方程是ρ=4sin（θ-$\frac{π}{6}$），點P（ρ，$\frac{π}{3}$）在曲線C₂上．
（1）求曲線C₁的普通方程及點P的直角坐標；
（2）若直線l的傾斜角為$\frac{2π}{3}$且經(jīng)過點P，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）消去參數(shù)，求曲線C₁的普通方程，求出P的極坐標，即可求出點P的直角坐標；
（2）若直線l的傾斜角為$\frac{2π}{3}$且經(jīng)過點P，寫出參數(shù)方程代入x²-y²=4，整理可得t²+8t+12=0，即可求|PA|+|PB|的值．

解答 解：（1）曲線C₁的參數(shù)方程是$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{m}+\frac{1}{\sqrt{m}}}\\{y=\sqrt{m}-\frac{1}{\sqrt{m}}}\end{array}\right.$（m為參數(shù)），消去m可得x²-y²=4，
$θ=\frac{π}{3}$，ρ=2，∴點P的直角坐標為（1，$\sqrt{3}$）；
（2）直線l的傾斜角為$\frac{2π}{3}$且經(jīng)過點P，參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1-\frac{1}{2}t}\\{y=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，
代入x²-y²=4，整理可得t²+8t+12=0，
設A、B對應的參數(shù)分別為t₁、t₂，則t₁+t₂=-8，t₁t₂=12，
∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=8

點評 本題考查了參數(shù)方程化為直角坐標方程、直線參數(shù)方程的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．