Question

11．定義在R上的偶函數(shù)，記f（x）的導數(shù)為f′（x），當x＞0時，xf′（x）+2f（x）＞1，則不等式f（1+2x）＞（$\frac{x}{1+2x}$）²•f（x）的解集是（-∞，-1）∪（-$\frac{1}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=x²f（x），求出g（x）的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)性，求出g（1+2x）＞g（x），得到關(guān)于x的不等式，解出即可．

解答 解：令g（x）=x²f（x），
則g′（x）=x[xf′（x）+2f（x）]，
當x＞0時，xf′（x）+2f（x）＞1，
故x＞0時，g′（x）＞0，g（x）遞增，
而f（-x）=f（x），
∴g（-x）=x²f（-x）=x²f（x）=g（x），
∴g（x）是偶函數(shù)，
∴x＜0時，g（x）遞減，
∵f（1+2x）＞（$\frac{x}{1+2x}$）²•f（x），
∴（1+2x）²f（1+2x）＞x²f（x），
∴g（1+2x）＞g（x），
∴|1+2x|＞|x|，
解得：x＞-$\frac{1}{3}$或x＜-1，
故不等式的解集是（-∞，-1）∪（-$\frac{1}{3}$，+∞），
故答案為：（-∞，-1）∪（-$\frac{1}{3}$，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性問題，考查導數(shù)的應用，構(gòu)造函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．