Question

1．在直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l：ρ=-$\frac{6}{3cosθ+4sinθ}$，曲線C：$\left\{\begin{array}{l}x=3+5cosα\\ y=5+5sinα\end{array}\right.$（α為參數(shù)）．
（Ⅰ）將直線l化成直角方程，將曲線C化成極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若將直線l向上平移m個(gè)單位后與曲線C相切，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用y=ρsinθ，x=ρcosθ，將直線l極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程，先把參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程，再轉(zhuǎn)化為曲線C的極坐標(biāo)方程，
（Ⅱ）根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系把圓的關(guān)系即可求出m的值．

解答 解：（Ⅰ）直線l的參數(shù)方程化為3ρcosθ+4ρsinθ+6=0，
則由ρcosθ=x，ρsinθ=y，得直線的直角坐標(biāo)方程為3x+4y+6=0．
由$\left\{{\begin{array}{l}{x=3+5cosα}\\{y=5+5sinα}\end{array}}\right.$，消去參數(shù)α，得（x-3）²+（y-5）²=25，
即x²+y²-6x-10y+9=0（*），
由ρ²=x²+y²，ρcosθ=x，ρsinθ=y，
代入（*）可得曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ²-6ρcosθ-10ρsinθ+9=0．
（Ⅱ）設(shè)直線l'：3x+4y+t=0與曲線C相切．
由（Ⅰ）知曲線C的圓心為（3，5），半徑為5，則$\frac{|3×3+4×5+t|}{{\sqrt{{3^2}+{4^2}}}}=5$，
解得t=-4或t=-54，
所以l'的方程為3x+4y-4=0或3x+4y-54=0，即$y=-\frac{3}{4}x+1$或$y=-\frac{3}{4}x+\frac{27}{2}$．
又將直線l的方程化為$y=-\frac{3}{4}x-\frac{3}{2}$，
所以$m=1-（-\frac{3}{2}）=\frac{5}{2}$或$m=\frac{27}{2}-（-\frac{3}{2}）=15$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，考查參數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題