【題目】已知拋物線： ，焦點(diǎn)， 為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線（不垂直軸）過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與的斜率之積為.

（1）求拋物線的方程；

（2）若為線段的中點(diǎn)，射線交拋物線于點(diǎn)，求證： .

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）設(shè)經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的直線方程為，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，寫出韋達(dá)定理，根據(jù)斜率之積等于求出的值，由此求得拋物線方程；（2）利用（1）求得點(diǎn)的坐標(biāo)，利用直線的方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，兩者橫坐標(biāo)的比值大于，得證.

試題解析：

∵直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)， ，

設(shè)，直線（不垂直軸）的方程可設(shè)為．

∴，

∵直線與的斜率之積為，

∴，∴，得，

由，化為，

其中，

∴，

∴，拋物線．

（2）證明：設(shè)，∵為線段的中點(diǎn)，

∴，

∴直線的斜率為，

直線的方程為代入拋物線的方程，

得，∴，

∵，∴．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）設(shè)．

①若函數(shù)在處的切線過(guò)點(diǎn)，求的值；

②當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上沒有零點(diǎn)，求的取值范圍．

（2）設(shè)函數(shù)，且，求證: 當(dāng)時(shí)，．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，圓的圓心在圓的內(nèi)部，且直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為.點(diǎn)為圓上異于的任意一點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn).

（1）求圓的方程；

（2）求證: 為定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)線段的垂直平分線與軸交于點(diǎn)，求△的面積的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，若在區(qū)間上的最小值為，求的取值范圍；

（2）若對(duì)任意，且恒成立，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知命題：直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)；命題： .

（1）若為真命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）若為真命題， 為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知?jiǎng)訄A與圓相切，且與圓相內(nèi)切，記圓心的軌跡為曲線；設(shè)為曲線上的一個(gè)不在軸上的動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交曲線于兩個(gè)不同的點(diǎn)．

（1）求曲線的方程；

（2）試探究和的比值能否為一個(gè)常數(shù)？若能，求出這個(gè)常數(shù)，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）記的面積為，的面積為，令，求的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為軸，焦點(diǎn)為，拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)作直線交拋物線于兩點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，四棱錐中，平面，四邊形是直角梯形，其中，. ，.

（1）求異面直線與所成角的大��；

（2）若平面內(nèi)有一經(jīng)過(guò)點(diǎn)的曲線，該曲線上的任一動(dòng)點(diǎn)都滿足與所成角的大小恰等于與所成角.試判斷曲線的形狀并說(shuō)明理由；

（3）在平面內(nèi)，設(shè)點(diǎn)是（2）題中的曲線在直角梯形內(nèi)部（包括邊界）的一段曲線上的動(dòng)點(diǎn)，其中為曲線和的交點(diǎn).以為圓心，為半徑的圓分別與梯形的邊、交于、兩點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)在曲線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試求圓半徑的范圍及的范圍.

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