【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè).
①若函數(shù)在處的切線過點(diǎn),求的值;
②當(dāng)時(shí),若函數(shù)在上沒有零點(diǎn),求的取值范圍.
(2)設(shè)函數(shù),且,求證: 當(dāng)時(shí),.
【答案】(1)①;②;(2)證明見解析.
【解析】試題分析:(1)①由題意切線斜率,又 切線方程 ;②當(dāng) ,因?yàn)?/span>.
然后利用分類討論思想對(duì)和分情況討論的:;(2)由題意得,從而原命題等價(jià)于設(shè) ,然后利用導(dǎo)數(shù)工具證明.
試題解析:
(1)①由題意,得,所以函數(shù)在處的切線斜率,又,所以函數(shù)在處的切線方程,將點(diǎn)代入,得.
②當(dāng),可得,因?yàn)?/span>.
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在上單調(diào)遞增,而,所以只需,解得,從而當(dāng)時(shí),由,解得
,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減; 當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增, 所以函數(shù)在上有最小值為,令,解得.綜上所述,.
(2)由題意,,而,等價(jià)于
,則,且,
令,則,因?yàn)?/span>,所以導(dǎo)數(shù)在上單調(diào)遞增,于是,從而函數(shù)在上單調(diào)遞增,即.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了對(duì)某課題進(jìn)行研究,用分層抽樣方法從三所高校的相關(guān)人員中,抽取若干人組成研究小組,有關(guān)數(shù)據(jù)見下表(單位:人)
高校 | 相關(guān)人數(shù) | 抽取人數(shù) |
A | 18 | |
B | 36 | 2 |
C | 54 |
(Ⅰ)求,;
(Ⅱ)若從高校抽取的人中選2人作專題發(fā)言,求這二人都來自高校的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】定義:數(shù)列對(duì)一切正整數(shù)均滿足,稱數(shù)列為“凸數(shù)列”,以下關(guān)于“凸數(shù)列”的說法:
①等差數(shù)列一定是凸數(shù)列;
②首項(xiàng),公比且的等比數(shù)列一定是凸數(shù)列;
③若數(shù)列為凸數(shù)列,則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列;
④若數(shù)列為凸數(shù)列,則下標(biāo)成等差數(shù)列的項(xiàng)構(gòu)成的子數(shù)列也為凸數(shù)列.
其中正確說法的序號(hào)是_____________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為弘揚(yáng)民族古典文化,學(xué)校舉行古詩詞知識(shí)競(jìng)賽,某輪比賽由節(jié)目主持人隨機(jī)從題庫中抽取題目讓選手搶答,回答正確給改選手記正10分,否則記負(fù)10分.根據(jù)以往統(tǒng)計(jì),某參賽選手能答對(duì)每一個(gè)問題的概率為;現(xiàn)記“該選手在回答完個(gè)問題后的總得分為”.
(1)求且的概率;
(2)記,求的分布列,并計(jì)算數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個(gè)命題中,假命題是_________ (填序號(hào)).
①經(jīng)過定點(diǎn)P(x0,y0)的直線不一定都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示;
②經(jīng)過兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直線都可以用
方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)來表示;
③與兩條坐標(biāo)軸都相交的直線不一定可以用方程表示;
④經(jīng)過點(diǎn)Q(0,b)的直線都可以表示為y=kx+b.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,已知,,底面,且,,為的中點(diǎn),在上,且.
(1)求證:平面平面;
(2)求證:平面;
(3)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn).
(1)求的方程;
(2)若點(diǎn)在上,過作的兩弦與,若,求證: 直線過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】關(guān)于空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn),有下列說法:
①點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為;
②的中點(diǎn)坐標(biāo)為;
③點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為;
④點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為;
⑤點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.
其中正確的個(gè)數(shù)是
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線: ,焦點(diǎn), 為坐標(biāo)原點(diǎn),直線(不垂直軸)過點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn),直線與的斜率之積為.
(1)求拋物線的方程;
(2)若為線段的中點(diǎn),射線交拋物線于點(diǎn),求證: .
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