Question

已知函數，其中為自然對數的底數.

（Ⅰ）當時，求曲線在處的切線與坐標軸圍成的三角形的面積；

（Ⅱ）若函數存在一個極大值和一個極小值，且極大值與極小值的積為，求的

值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）所求面積為. （Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ），    當時，，

，，所以曲線在處的切線方程為切線與軸、軸的交點坐標分別為，， 所以，所求面積為.

（Ⅱ）因為函數存在一個極大值點和一個極小值點，

所以，方程在內存在兩個不等實根，

.  ，則

設為函數的極大值和極小值，

則，，

因為，，所以，，

即，，，

解得，，此時有兩個極值點，所以.

考點：本題主要考查導數的幾何意義，直線方程，應用導數研究函數的單調性及極值。

點評：典型題，本題屬于導數應用中的基本問題，（2）涉及方程實根的討論及研究，運用了韋達定理，輕聲道切線斜率，等于函數在切點的導函數值。