Question

已知橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距為4且過(guò)點(diǎn)（

2

，-2）．
（1）求橢圓C方程；
（2）過(guò)橢圓上焦點(diǎn)的直線與橢圓C分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，求

OE

•

OF

的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì),平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)焦距求出焦點(diǎn)坐標(biāo)（0，-2），（0，2），根據(jù)橢圓的定義點(diǎn)（

2

，-2）到兩焦點(diǎn)距離的和為2a，這樣即可求出a，b，從而求出橢圓方程；
（2）當(dāng)直線不存在斜率時(shí)求出E，F(xiàn)坐標(biāo)，從而求出

OE

•

OF

；當(dāng)存在斜率時(shí)，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），設(shè)直線方程為y=kx+2，聯(lián)立橢圓的方程利用韋達(dá)定理可求x₁+x₂，x₁•x₂，從而求得

OE

•

OF

=

20

2+k2

-8，所以-8＜

OE

•

OF

≤2．

解答： 解：（1）橢圓C：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)焦距是4，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0，-2），（0，2）；
∴2a=

2+0

+

2+(2+2)2

=4

2

，所以a=2

2

，b=2；
即橢圓橢圓C的方程是

x2

4

+

y2

8

=1；
（2）不妨設(shè)l過(guò)橢圓的上焦點(diǎn)，若直線l垂直x軸，則點(diǎn)E(0，2

2

)，F(xiàn)(0，-2

2

)，

OE

•

OF

=-8；
若直線l不垂直x軸，設(shè)l的方程為y=kx+2，設(shè)點(diǎn)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）；
將直線l的方程代入橢圓C的方程得到：（2+k²）x²+4kx-4=0；
則x1+x2=

-4k

2+k2

，x1x2=

-4

2+k2

；
所以

OE

•

OF

=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4=

-4-4k2

2+k2

+

-8k2

2+k2

+4=

20

2+k2

-8
因?yàn)?span id="povyfas" class="MathJye">0＜

20

2+k2

≤10，所以-8＜

OE

•

OF

≤2；
所以：

OE

•

OF

的取值范圍是[-8，2]．

點(diǎn)評(píng)：考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的焦距、焦點(diǎn)的概念，橢圓的定義，直線的點(diǎn)斜式方程，以及韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算．