Question

已知數列{a_n}中，a₇=4，a_n+1=

3an+4

7-an

．
（1）是否存在自然數m，使得當n≥m時，a_n＜2；當n＜m時，a_n＞2？
（2）是否存在自然數p，使得當n≥p時，總有

an-1+an+1

2

＜a_n？

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：計算題,壓軸題,等差數列與等比數列

分析：（1）由題意，化簡a_n+1=

3an+4

7-an

為1-

5

an-2

+

5

an+1-2

=0，從而說明{

5

an-2

}是以-1為公差的等差數列，從而求出a_n=

10

19-2n

+2，從而找到m；
（2）由（1）知a_n-1+a_n+1-2a_n=

10

21-2n

+

10

17-2n

-2

10

19-2n

化簡即可．

解答： 解：（1）∵a_n+1=

3an+4

7-an

，
∴a_na_n+1-7a_n+1+3a_n+4=0，
即（a_n-2）（a_n+1-2）-5（a_n+1-2）+5（a_n-2）=0，
可知若a_n=2，則a_n+1=2，與a₇=4相矛盾，故a_n≠2，
則1-

5

an-2

+

5

an+1-2

=0，
∴{

5

an-2

}是以-1為公差的等差數列，
∴

5

an-2

=

5

4-2

-（n-7）=

19-2n

2

，
∴a_n=

10

19-2n

+2，
∴當m=10時，滿足當n≥m時，a_n＜2；當n＜m時，a_n＞2，
（2）∵a_n=

10

19-2n

+2，
∴a_n-1+a_n+1-2a_n=

10

21-2n

+

10

17-2n

-2

10

19-2n

=

10

(21-2n)(19-2n)(17-2n)

[（19-2n）（17-2n）+（21-2n）（19-2n）-2（21-2n）（17-2n）]
=8•

10

(21-2n)(19-2n)(17-2n)

，
則當n≥11時，8•

10

(21-2n)(19-2n)(17-2n)

＜0，
即

an-1+an+1

2

＜a_n
則存在自然數P（P可以是11），使得當n≥p時，總有

an-1+an+1

2

＜a_n．

點評：本題考查了數列通項公式的推導，構造成等差數列，再解答問題，化簡非常困難，要細心，屬于壓軸題．