Question

已知點P（x，y）是橢圓

x2

9

+

y2

4

=1上的動點，用線性規(guī)劃求2x+3y的取值范圍．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：目標函數z=2x+3y，P代表橢圓上動點，直線則代表目標函數，我們會發(fā)現(xiàn)，在直線移動的過程中，直線越往上移動，所代表的截距越大，那么目標函數值z也越大，反之則越�。�由此我們可以得出在相切時，z分別取到最大最小值，即可得出結論．

解答： 解：目標函數z=2x+3y，P代表橢圓上動點，直線則代表目標函數，我們會發(fā)現(xiàn)，在直線移動的過程中，直線越往上移動，所代表的截距越大，那么目標函數值z也越大，反之則越小．
由此我們可以得出在相切時，z分別取到最大最小值，圖象如下．


為了研究相切時的情況，我們可以聯(lián)立橢圓和直線的方程，得到二次方程，8x²-4zx+z²-36=0
由于相切時方程有且僅有一解，所以令判別式△=0
得到16z²-32（z²-36）=0
即z²=72，此時z=±6

2

所以，z_max=6

2

，z_min=-6

2

因此目標函數2x+3y的取值范圍是[-6

2

，6

2

]．

點評：本題考查橢圓方程，考查線性規(guī)劃知識，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．