Question

9．已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-2x-f′（0）x²+2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的減區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)先求出f′（0）的值即可求出函數(shù)的解析式，
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進行求解即可．

解答 解：（1）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f（x）=\frac{1}{x+1}-2-2f'（0）x$，
令x=0，得f′（0）=1-2-2f′（0），
即f′（0）=-1，
∴f（x）=ln（x+1）-2x+x²+2．
（2）$f'（x）=\frac{1}{x+1}+2x-2=\frac{{2{x^2}-1}}{x+1}$，
由f'（x）＜0，得$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜x＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴f（x）的減區(qū)間為$（-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$．

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法是解決本題的關(guān)鍵．