Question

20．設命題p：函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+$\frac{a}{16}$）的值域為R；命題q：3^x-9^x＜a對一切實數(shù)x恒成立，如果命題“p且q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 分別求出兩個命題的為真命題的等價條件，利用復合命題真假之間的關系進行判斷求解．

解答 解：若函數(shù)f（x）=lg（ax²-x+$\frac{a}{16}$）的值域為R，
則當a=0時，f（x）=lg（-x）的值域為R滿足條件，
若a≠0，要使函數(shù)f（x）的值域為R，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-\frac{4{a}^{2}}{16}≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{-2≤a≤2}\end{array}\right.$，即0＜a≤2，綜上0≤a≤2；
若3^x-9^x＜a對一切實數(shù)x恒成立，
則設g（x）=3^x-9^x，則g（x）=3^x-（3^x）²，=
設t=3^x，則t＞0，則函數(shù)等價為y=t-t²=-（t$-\frac{1}{2}$）²+$\frac{1}{4}$≤$\frac{1}{4}$，
即a＞$\frac{1}{4}$，
若“p且q”為真命題，則$\left\{\begin{array}{l}{0≤a≤2}\\{a＞\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，即$\frac{1}{4}$＜a≤2
則若“p且q”為假命題，則a＞2或a≤$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查復合命題真假的應用，根據(jù)條件求出兩個命題的為真命題的等價條件是解決本題的關鍵．