Question

20．已知函數(shù)f（x）=x³-3ax，若f（x）存在唯一的零點(diǎn)x₀，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． [0，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，0]

Answer 1

分析 求導(dǎo)f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a）；從而分類(lèi)討論以確定函數(shù)的單調(diào)性，從而轉(zhuǎn)化為極值問(wèn)題求解即可．

解答 解：∵f（x）=x³-3ax²，
∴f′（x）=3x²-6ax=3x（x-2a）；
當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=x³-3ax²在R上是增函數(shù)，
故f（x）存在唯一的零點(diǎn)；
當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）=x³-3ax²在（-∞，2a）上是增函數(shù)，在（2a，0）上是減函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)；
而且f（0）=0，f（x）存在唯一的零點(diǎn)；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）=x³-3ax²在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，2a）上是減函數(shù)，在（2a，+∞）上是增函數(shù)；
而且f（0）=0，故只需使f（2a）=8a³-12a³＞0，無(wú)解
綜上所述，a的取值范圍為[-∞，0]，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類(lèi)討論的思想應(yīng)用，屬于中檔題．