如圖,已知四棱錐P-ABCD的底面為等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD垂足為H,PH是四棱錐的高,E為AD的中點.
(1)證明:PE⊥BC;
(2)若∠APB=∠ADB=60°,求直線PA與PEH平面所成角的正弦值.
考點:直線與平面所成的角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)以H為原點,HA,HB,HP分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能證明PE⊥BC.
(2)求出平面PEH的法向量和
PA
=(1,0,-1)
,利用向量法能求出直線PA與PEH平面所成角的正弦值.
解答: (1)證明:以H為原點,HA,HB,HP分別為x,y,z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)HA=1,
則A(1,0,0),B(0,1,0),
設(shè)C(m,0,0),P(0,0,n),(m<0,n>0),
則D(0,m,0),E(
1
2
,
m
2
,0
),
PE
=(
1
2
m
2
,-n
),
BC
=(m,-1,0),
PE
BC
=
m
2
-
m
2
+0=0
,
∴PE⊥BC.
(2)解:∵∠APB=∠ADB=60°,∴由已知條件得m=-
3
3
,n=1,
∴C(-
3
3
,0,0),D(0,-
3
3
,0),E(
1
2
,-
3
6
,0
),P(0,0,1),
設(shè)
n
=(x,y,z)是平面PEH的法向量,
n
HE
=
1
2
x-
3
6
y=0
n
HP
=z=0
,取x=1,得
n
=(1,
3
,0),
PA
=(1,0,-1)
,
∴|cos<
PA
,
n
>|=|
1
2
•2
|=
2
4

∴直線PA與PEH平面所成角的正弦值為
2
4
點評:本題考查異面直線垂直的證明,考查直線與平面所成角的正弦值的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.
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①點M可以與點H重合;
②點M可以與點F重合;
③點M可以在線段FH上;
④點M可以與點E重合.
其中正確命題的序號是
 
(把你認(rèn)為正確命題的序號都填上).

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最近,張師傅和李師傅要將家中閑置資金進(jìn)行投資理財.現(xiàn)有兩種投資方案,且一年后投資盈虧的情況如下:
(1)投資股市:
投資結(jié)果獲利不賠不賺虧損
概  率
1
2
1
8
3
8
(2)購買基金:
投資結(jié)果獲利不賠不賺虧損
概  率p
1
3
q
(Ⅰ)當(dāng)p=
1
2
時,求q的值;
(Ⅱ)已知“購買基金”虧損的概率比“投資股市”虧損的概率小,求p的取值范圍;
(Ⅲ)已知張師傅和李師傅兩人都選擇了“購買基金”來進(jìn)行投資,假設(shè)三種投資結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同,求一年后他們兩人中至少有一人獲利的概率.

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已知1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),則第5個等式為
 
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