如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90O,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分別為PC,PB的中點(diǎn).(1)求證:PB⊥DM;(2)求CD與平面ADMN所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在點(diǎn)E,且PE∶ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角為60o.若存在求出λ值,若不存在,請(qǐng)說明理由。
(1)建系,利用,證明PB⊥DM
(2)
(3)先假設(shè)存在,求出法向量,可以算出無(wú)解,所以不存在符合要求的解.
解析試題分析:(1)如圖以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系
A(0,0,0),B(2,0,0),
C(2,1,0),D(0,2,0)
M(1,,1),N(1,0,1),
E(0,m,2-m),P(0,0,2)
(2,0,-2),(1,-,1),
="0"
(2)=(-2,1,0)平面ADMN法向量=(x,y,z),
=(0,2,0),=(1,0,1) ,
所以 ,即 ,解得=(1,0,-1),
設(shè)CD與平面ADMN所成角α,則.
(3)設(shè)平面ACN法向量=(x,y,z),
所以,解得=(1,-2,-1),
設(shè),所以,
同理可以求出平面AEN的法向量,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic5/tikupic/79/4/1dfpc3.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,
所以 ,
此方程無(wú)解,所以不存在符合要求的點(diǎn).
考點(diǎn):本小題主要考查空間中線線垂直、線面角和二面角.
點(diǎn)評(píng):解決立體幾何問題,可以建立空間向量,但是證明時(shí)也要根據(jù)相應(yīng)的判定定理和性質(zhì)定理,定理中要求的條件要一一列舉出來,另外還要注意各種角的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,平面ABCD⊥平面ADEF,其中ABCD為矩形,ADEF為梯形,AF∥DE,AF⊥FE,AF=AD=2 DE=2,M為AD中點(diǎn).
(Ⅰ) 證明;
(Ⅱ) 若二面角A-BF-D的平面角的余弦值為,求AB的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題12分)在直角梯形PBCD中,,A為PD的中點(diǎn),如下左圖。將沿AB折到的位置,使,點(diǎn)E在SD上,且,如下圖。
(1)求證:平面ABCD;
(2)求二面角E—AC—D的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱底面ABCD,,E是PC的中點(diǎn),作交PB于點(diǎn)F.
(I) 證明: PA∥平面EDB;
(II) 證明:PB⊥平面EFD;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,⊙O的直徑AB=4,點(diǎn)C、D為⊙O上兩點(diǎn),且∠CA B=45o,∠DAB=60o,F(xiàn)為的中點(diǎn).沿直徑AB折起,使兩個(gè)半圓所在平面互相垂直(如圖).
(1)求證:OF//平面ACD;
(2)求二面角C- AD-B的余弦值;
(3)在上是否存在點(diǎn)G,使得FG∥平面ACD?若存在,試指出點(diǎn)G的位置,并求直線AG與平面ACD所成角的正弦值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(14分)如圖,在三棱錐S—ABC中,是邊長(zhǎng)為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA =" SC" =,M、N分別為AB、SB的中點(diǎn)。
⑴ 求證:AC⊥SB;
⑵ 求二面角N—CM—B的正切值;
⑶ 求點(diǎn)B到平面CMN的距離。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本小題12分)如圖,在多面體ABCDEF中,底面ABCD是 平行四邊形,AB=2EF,EF∥AB,,H為BC的中點(diǎn).求證:FH∥平面EDB.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,PA垂直于矩形ABCD所在的平面,AD=PA=2,,E、F分別是AB、PD的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:平面PCE 平面PCD;
(Ⅱ)求四面體PEFC的體積.
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