(14分)如圖,在三棱錐S—ABC中,是邊長為4的正三角形,平面SAC⊥平面ABC,SA =" SC" =,M、N分別為AB、SB的中點。
⑴ 求證:AC⊥SB;
⑵ 求二面角N—CM—B的正切值;
⑶ 求點B到平面CMN的距離。
⑴取AC中點O,連結(jié)OS、OB∴SO⊥平面ABC,SO⊥BO如圖建立空間直角坐標系O—xyz
⑵ ⑶
解析試題分析:⑴ 取AC中點O,連結(jié)OS、OB
∵平面平面ABC,平面SAC平面ABC=AC
∴SO⊥平面ABC, SO⊥BO
如圖建立空間直角坐標系O—xyz
則
⑵ 由⑴得
設為平面CMN的一個法向量,則,取
則
又為平面ABC的一個法向量
⑶ 由⑴⑵得為平面CMN的一個法向量
∴點B到平面CMN的距離……14分
考點:線線垂直的判定,二面角點面距的計算
點評:本題的關鍵是由已知條件找到建立空間直角坐標系的合適位置,進而找到相關點,向量的坐標,代入線面角點面距的向量計算公式求解,有一定的難度
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面為直角梯形ABCD,AD∥BC,∠BAD=90O,PA⊥底面ABCD,且PA=AD=AB=2BC,M,N分別為PC,PB的中點.(1)求證:PB⊥DM;(2)求CD與平面ADMN所成角的正弦值;(3)在棱PD上是否存在點E,且PE∶ED=λ,使得二面角C-AN-E的平面角為60o.若存在求出λ值,若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)
如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD.
(1)證明:平面PQC⊥平面DCQ;
(2)求二面角Q-BP-C的余弦值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖所示,已知S是正三角形ABC所在平面外的一點,且SA=SB=SC,SG為△SAB上的高,D、E、F分別是AC、BC、SC的中點,試判斷SG與平面DEF的位置關系,并給予證明.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分14分)
如圖,已知平面QBC與直線PA均垂直于所在平面,且PA=AB=AC.
(Ⅰ)求證:PA∥平面QBC;
(Ⅱ)若,求二面角Q-PB-A的余弦值。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分16分)如圖:AD=2,AB=4的長方形所在平面與正所在平面互相垂直,分別為的中點.
(1)求四棱錐-的體積;
(2)求證:平面;
(3)試問:在線段上是否存在一點,使得平面平面?若存在,試指出點的位置,并證明你的結(jié)論;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分)在正四棱錐中,側(cè)棱的長為,與所成的角的大小等于.
(1)求正四棱錐的體積;
(2)若正四棱錐的五個頂點都在球的表面上,求此球的半徑.
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