Question

3．已知△ABC的邊AB在直角坐標平面的x軸上，AB的中點為坐標原點，若$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}|}$=$\frac{3}{2}$，又E點在BC邊上，且滿足3$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{EC}$，以A、B為焦點的雙曲線經(jīng)過C、E兩點．
（I）求|$\overrightarrow{AB}$|及此雙曲線的方程；
（II）若圓心為T（x₀，0）的圓與雙曲線右支在第一象限交于不同兩點M，N，求T點橫坐標x₀取值范圍．

Answer 1

分析 （I）由已知向量等式可得$|\overrightarrow{AD}|=\frac{1}{2}$，$|\overrightarrow{BD}|=\frac{3}{2}$，由此求得$|\overrightarrow{AB}|$，得到A，B的坐標，設(shè)出雙曲線方程及C，E的坐標，結(jié)合3$\overrightarrow{BE}$=2$\overrightarrow{EC}$，把E的坐標用C的坐標表示，代入雙曲線方程求得a，b的值，則雙曲線方程可求；
（II）設(shè)出M坐標，由已知條件得|TM|=|TN|，結(jié)合M，N在雙曲線上可得7（x₁+x₂）=2x₀，結(jié)合M，N的橫坐標的范圍求得T點橫坐標x₀取值范圍．

解答 解：（I）由題知：$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{1}{2}$  ①，而$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AC}|cosA$  ②，
由①②，$|\overrightarrow{AC}|cosA=\frac{1}{2}$，作CD⊥AB于D，即$|\overrightarrow{AD}|=\frac{1}{2}$．
同理，$|\overrightarrow{BD}|=\frac{3}{2}$，∴$|\overrightarrow{AB}|=2$，A（-1，0），B（1，0），
設(shè)雙曲線方程$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$，$C（-\frac{1}{2}，h）$，E（x₁，y₁），
由$3\overrightarrow{BE}=2\overrightarrow{EC}$，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{2}{5}}\\{{y}_{1}=\frac{2}{5}h}\end{array}\right.$，
∵E，C兩點在雙曲線上，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4{a}^{2}}-\frac{{h}^{2}}{^{2}}=1}\\{\frac{4}{25{a}^{2}}-\frac{4{h}^{2}}{25^{2}}=1}\\{{c}^{2}={a}^{2}+^{2}=1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}=\frac{1}{7}}\\{^{2}=\frac{6}{7}}\end{array}\right.$，
∴雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{7}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{6}{7}}=1$；
（II）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由條件知|TM|=|TN|，
得$\sqrt{{{y}_{1}}^{2}+（{x}_{1}-{x}_{0}）^{2}}=\sqrt{{{y}_{2}}^{2}+（{x}_{2}-{x}_{0}）^{2}}$，
∴${{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}=（{x}_{2}-{x}_{0}）^{2}-（{x}_{1}-{x}_{0}）^{2}=（{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}）$+2x₀（x₁-x₂）  ①，
又M，N在雙曲線上，滿足$7{{x}_{1}}^{2}-\frac{7}{6}{{y}_{1}}^{2}=1$，$7{{x}_{2}}^{2}-\frac{7}{6}{{y}_{2}}^{2}=1$，
∴${{y}_{1}}^{2}-{{y}_{2}}^{2}=6（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）$  ②，
將②代入①，$7（{{x}_{1}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}）=2{x}_{0}（{x}_{1}-{x}_{2}）$，由條件知x₁≠x₂，
∴7（x₁+x₂）=2x₀，
又x₁＞$\frac{\sqrt{7}}{7}$，x₂＞$\frac{\sqrt{7}}{7}$，x₁≠x₂，
∴${x}_{0}=\frac{7}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$＞$\sqrt{7}$，
∴x₀的取值范圍為（$\sqrt{7}$，+∞）．

點評 本題考查雙曲線標準方程的求法，考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，訓練了直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，屬難題．