Question

13．函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{k}{x}（k∈R）$．若曲線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線x-2=0垂直，則f（x）的極小值（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）等于2．

Answer 1

分析 先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出k的值，然后利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)單調(diào)區(qū)間及其極值．

解答 解：由函數(shù)$f（x）=lnx+\frac{k}{x}（k∈R）$得f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{k}{{x}^{2}}$．
∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線與直線x-2=0垂直，
∴此切線的斜率為0．
即f′（e）=0，有$\frac{1}{e}$-$\frac{k}{{e}^{2}}$=0，解得k=e．
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{e}{{x}^{2}}$=$\frac{x-e}{{x}^{2}}$，
由f′（x）＜0得0＜x＜e，由f′（x）＞0得x＞e．
∴f（x）在（0，e）上單調(diào)遞減，在（e，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x=e時(shí)f（x）取得極小值f（e）=lne+$\frac{e}{e}$=2．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和極值，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及兩直線垂直的條件，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．