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【題目】為拋物線的焦點,過點的直線與拋物線相交于、兩點.

1)若,求此時直線的方程;

2)若與直線垂直的直線過點,且與拋物線相交于點、,設線段、的中點分別為、,如圖,求證:直線過定點;

3)設拋物線上的點、在其準線上的射影分別為、,若的面積是的面積的兩倍,如圖,求線段中點的軌跡方程.

【答案】1;(2;(3

【解析】

1)求出拋物線的焦點坐標,由直線方程的點斜式寫出直線l的方程,和拋物線方程聯立后利用2得直線方程.

2由(1)得點P,又直線與直線垂直,將m換為,同理可得Q,﹣).由此可求直線PQ的方程,可得結論;

3)利用的面積是的面積的兩倍,求出N的坐標,再利用直線的斜率公式及點差法求TS中點的軌跡方程.

1)拋物線焦點坐標為F10),設直線方程為xmy+1,

設點Ax1y1),Bx2y2),

聯立,得:y24my40,

則由韋達定理有:y1+y24m,①,y1y2=﹣4,②

2,

1x12x21),﹣y12y2,③,

由①②③可得m2,∴,

∴直線方程為xy+1,即

2)由(1)得點P,又直線與直線垂直,將m換為,

同理可得Q,﹣).

m時,直線PQ的斜率kPQ,

直線PQ的方程為:y-2mx12),整理為mx3)﹣(m21y0,于是直線PQ恒過定點E3,0),

m±1時,直線PQ的方程為:x3,也經過點E3,0).

綜上所述:直線PQ恒過定點E30).

3)設Sx1,y1),Tx2y2),

F10),準線為 x=﹣12|||y1y2|,

設直線TSx軸交點為N

STSF|FN||y1y2|,

的面積是TSF的面積的兩倍,

|FN|,∴|FN|=1,

xN2,即N2,0).

TS中點為Mxy),由4x1x2),

,即y22x4

TS中點軌跡方程為y22x4

練習冊系列答案
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3)現有函數,請找出所有的一次函數,使得下列條件同時成立:

①函數滿足利普希茨(Lipschitz)條件;

②方程的根也是方程的根,且;

③方程在區(qū)間上有且僅有一解.

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第一次

第二次

第三次

第四次

第五次

參會人數 (萬人)

13

9

8

10

12

原材料 (袋)

32

23

18

24

28

(1)根據所給5組數據,求出關于的線性回歸方程.

(2)已知購買原材料的費用 (元)與數量 (袋)的關系為,

投入使用的每袋原材料相應的銷售收入為700元,多余的原材料只能無償返還,據悉本次交易大會大約有15萬人參加,根據(1)中求出的線性回歸方程,預測餐廳應購買多少袋原材料,才能獲得最大利潤,最大利潤是多少?(注:利潤銷售收入原材料費用).

參考公式: , .

參考數據: , , .

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