【題目】設為拋物線的焦點,過點的直線與拋物線相交于、兩點.
(1)若,求此時直線的方程;
(2)若與直線垂直的直線過點,且與拋物線相交于點、,設線段、的中點分別為、,如圖,求證:直線過定點;
(3)設拋物線上的點、在其準線上的射影分別為、,若△的面積是△的面積的兩倍,如圖,求線段中點的軌跡方程.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)求出拋物線的焦點坐標,由直線方程的點斜式寫出直線l的方程,和拋物線方程聯立后利用2得直線方程.
(2由(1)得點P,又直線與直線垂直,將m換為,同理可得Q(,﹣).由此可求直線PQ的方程,可得結論;
(3)利用△的面積是△的面積的兩倍,求出N的坐標,再利用直線的斜率公式及點差法求TS中點的軌跡方程.
(1)拋物線焦點坐標為F(1,0),設直線方程為x=my+1,
設點A(x1,y1),B(x2,y2),
聯立,得:y2﹣4my﹣4=0,
則由韋達定理有:y1+y2=4m,①,y1y2=﹣4,②
∵2,
∴1﹣x1=2(x2﹣1),﹣y1=2y2,③,
由①②③可得m2,∴,
∴直線方程為x=y+1,即.
(2)由(1)得點P,又直線與直線垂直,將m換為,
同理可得Q(,﹣).
m時,直線PQ的斜率kPQ,
直線PQ的方程為:y-2m(x﹣1﹣2),整理為m(x﹣3)﹣(m2﹣1)y=0,于是直線PQ恒過定點E(3,0),
m=±1時,直線PQ的方程為:x=3,也經過點E(3,0).
綜上所述:直線PQ恒過定點E(3,0).
(3)設S(x1,y1),T(x2,y2),
F(1,0),準線為 x=﹣1,2||=|y1﹣y2|,
設直線TS與x軸交點為N,
∴S△TSF|FN||y1﹣y2|,
∵的面積是△TSF的面積的兩倍,
∴|FN|=,∴|FN|=1,
∴xN=2,即N(2,0).
設TS中點為M(x,y),由得﹣=4(x1﹣x2),
又,
∴,即y2=2x﹣4.
∴TS中點軌跡方程為y2=2x﹣4.
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【題目】過去大多數人采用儲蓄的方式將錢儲蓄起來,以保證自己生活的穩(wěn)定,考慮到通貨膨脹的壓力,如果我們把所有的錢都用來儲蓄,這并不是一種很好的方式,隨著金融業(yè)的發(fā)展,普通人能夠使用的投資理財工具也多了起來,為了研究某種理財工具的使用情況,現對年齡段的人員進行了調查研究,將各年齡段人數分成5組,,,,,,并整理得到頻率分布直方圖:
(Ⅰ)求圖中的值;
(Ⅱ)求被調查人員的年齡的中位數和平均數;
(Ⅲ)采用分層抽樣的方法,從第二組、第三組、第四組中共抽取8人,在抽取的8人中隨機抽取2人,則這2人都來自于第三組的概率是多少?
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【題目】已知F為拋物線y2=x的焦點,點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側,(其中O為坐標原點),則△ABO與△AFO面積之和的最小值是________.
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【題目】如圖所示,在長方體中,已知,.
(1)求:凸多面體的體積;
(2)若為線段的中點,求點到平面的距離;
(3)若點、分別在棱、上滑動,且線段的長恒等于,線段的中點為
①試證:點必落在過線段的中點且平行于底面的平面上;
②試求點的軌跡.
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【題目】定義:若存在常數,使得對定義域D內的任意兩個不同的實數,均有:成立,則稱在D上滿足利普希茨(Lipschitz)條件.
(1)試舉出一個滿足利普希茨(Lipschitz)條件的函數及常數的值,并加以驗證;
(2)若函數在上滿足利普希茨(Lipschitz)條件,求常數的最小值;
(3)現有函數,請找出所有的一次函數,使得下列條件同時成立:
①函數滿足利普希茨(Lipschitz)條件;
②方程的根也是方程的根,且;
③方程在區(qū)間上有且僅有一解.
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【題目】某餐廳通過查閱了最近5次食品交易會參會人數 (萬人)與餐廳所用原材料數量 (袋),得到如下統計表:
第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 | 第五次 | |
參會人數 (萬人) | 13 | 9 | 8 | 10 | 12 |
原材料 (袋) | 32 | 23 | 18 | 24 | 28 |
(1)根據所給5組數據,求出關于的線性回歸方程.
(2)已知購買原材料的費用 (元)與數量 (袋)的關系為,
投入使用的每袋原材料相應的銷售收入為700元,多余的原材料只能無償返還,據悉本次交易大會大約有15萬人參加,根據(1)中求出的線性回歸方程,預測餐廳應購買多少袋原材料,才能獲得最大利潤,最大利潤是多少?(注:利潤銷售收入原材料費用).
參考公式: , .
參考數據: , , .
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【題目】對于函數,若函數是增函數,則稱函數具有性質A.
若,求的解析式,并判斷是否具有性質A;
判斷命題“減函數不具有性質A”是否真命題,并說明理由;
若函數具有性質A,求實數k的取值范圍,并討論此時函數在區(qū)間上零點的個數.
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