Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²-（a+2）x+alnx（a＞0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）若a=4，y=f（x）的圖象與直線y=m有三個(gè)不同交點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)a的討論判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，然后求解函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）求出函數(shù)的極大值以及極小值，推出結(jié)果即可．

解答 （本小題滿分15分）
解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
${f^/}（x）=2x-（a+2）+\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-（a+2）x+a}}{x}=\frac{{2（x-\frac{a}{2}）（x-1）}}{x}$，
①當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是$（0，\frac{a}{2}）$和（1，+∞），
②當(dāng)a=2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）
③當(dāng)a＞2時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1）和$（\frac{a}{2}，+∞）$，
（Ⅱ）若a=4，由（1）得f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，（1，2）上遞減，（2，+∞）遞增f（x）在x=1處取得極大值，f（1）=-5，
在x=2處取得極小值 f（2）=4ln2-8
∴y=f（x）的圖象與直線y=m有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，m的取值范圍是（4ln2-8，-5）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．