Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x+2|+|x-1|．
（1）求不等式f（x）＞5的解集；
（2）若對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x恒有f（x）≥|a-1|成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式組問(wèn)題，求出不等式的解集即可；
（2）要使f（x）≥|a-1|對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R成立，得到|a-1|≤3，解出即可．

解答 解：（1）不等式f（x）＞5即為|x+2|+|x-1|＞5，
等價(jià)于$\left\{{\begin{array}{l}{x＜-2}\\{-x-2-x+1＞5}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{-2≤x≤1}\\{x+2-x+1＞5}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＞1}\\{x+2+x-1＞5}\end{array}}\right.$，
解得x＜-3或x＞2，
因此，原不等式的解集為{x|x＜-3或x＞2}；
（2）f（x）=|x+2|+|x-1|≥|（x+2）-（x-1）|=3，
要使f（x）≥|a-1|對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈R成立，
須使|a-1|≤3，
解得：-2≤a≤4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類討論思想，是一道中檔題．