Question

4．已知{a_n}是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
（I）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（II）記c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系可得a₁．利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出a_n，b_n．
（II）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=$\frac{1}{3}$，a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．當(dāng)n=1時(shí)，有a₁b₂+b₂=b₁，即$\frac{1}{3}{a}_{1}$+$\frac{1}{3}$=1，
∴a₁=2．
又∵{a_n}是公差為3的等差數(shù)列，∴a_n=3n-1．
由a_n=3n-1知：（3n-1）b_n+1+b_n+1=nb_n，
化簡(jiǎn)得3b_n+1=b_n，即$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{1}{3}$．
即數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{3}$為公比的等比數(shù)列，∴${b_n}={（\frac{1}{3}）^{n-1}}$．
（II）c_n=a_n•b_n=$（3n-1）•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，
T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
∴${T_n}=2×{（\frac{1}{3}）^0}+5×{（\frac{1}{3}）^1}+8×{（\frac{1}{3}）^2}+…+（3n-4）×{（\frac{1}{3}）^{n-2}}+（3n-1）×{（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，
$\frac{1}{3}{T_n}=2×{（\frac{1}{3}）^1}+5×{（\frac{1}{3}）^2}+8×{（\frac{1}{3}）^3}+…+（3n-4）×{（\frac{1}{3}）^{n-1}}+（3n-1）×{（\frac{1}{3}）^n}$．
∴$\frac{2}{3}{T_n}=2×{（\frac{1}{3}）^0}+3×{（\frac{1}{3}）^1}+3×{（\frac{1}{3}）^2}+…+3×{（\frac{1}{3}）^{n-2}}+3×{（\frac{1}{3}）^{n-1}}-（3n-1）{（\frac{1}{3}）^n}$，
$\frac{2}{3}{T_n}=2+3×[{（\frac{1}{3}）^1}+{（\frac{1}{3}）^2}+…+{（\frac{1}{3}）^{n-2}}+{（\frac{1}{3}）^{n-1}}]-（3n-1）{（\frac{1}{3}）^n}$
$\frac{2}{3}{T_n}=2+3×\frac{{\frac{1}{3}[1-{{（\frac{1}{3}）}^{n-1}}]}}{{1-\frac{1}{3}}}-（3n-1）{（\frac{1}{3}）^n}$，
$\frac{2}{3}{T_n}=2+\frac{3}{2}-\frac{3}{2}•{（\frac{1}{3}）^{n-1}}-（3n-1）{（\frac{1}{3}）^n}=\frac{7}{2}-（n+\frac{7}{6}）{（\frac{1}{3}）^{n-1}}$，
∴${T_n}=\frac{21}{4}-\frac{3}{2}（n+\frac{7}{6}）{（\frac{1}{3}）^{n-1}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其求和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．