Question

已知圓C的圓心C在直線2x-y-7=0上，且與y軸交于點(diǎn)M（0，-4）和N（0，-2）．
（Ⅰ）求圓C的方程；
（Ⅱ）若直線x+2y+m=0與圓C交于A、B兩點(diǎn)，以CA、CB為鄰邊作平行四邊形ACBD，且點(diǎn)D也在圓C上，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：計算題,直線與圓

分析：（Ⅰ）由題意得到圓心在y=-3上，又圓心在直線2x-y-7=0上，聯(lián)立求出圓心C坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出r的值，即可確定出圓C的方程；
（Ⅱ）確定平行四邊形ACBD為菱形，且|CA|=|CD|=|AD|，圓心C到直線x+2y+m=0的距離為

r

2

，即可求實(shí)數(shù)m的值．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)題意知，圓心C在直線y=-3上，
由

y=-3 2x-y-7=0

，解得：

x=2 y=-3

，即圓心C（2，-3），
又r=|AC|=

5

，
則所求圓的方程為：（x-2）²+（y+3）²=5；
（Ⅱ）由題意，平行四邊形ACBD為菱形，且|CA|=|CD|=|AD|，
∴∠ACD=60°，∠ACB=2∠ACD=120°，
∴∠CAB=30°，
∴圓心C到直線x+2y+m=0的距離為

r

2

，
∴

|2-6+m|

5

=

5

2

，
∴m=

3

2

或

13

2

．

點(diǎn)評：此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點(diǎn)到直線的距離公式．