Question

13．不等式組$\left\{\begin{array}{l}y-1≥0\\ x-y+2≥0\\ x+4y-8≤0\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域為Ω，直線x=a（a＞1）將Ω分成面積之比為1：4的兩部分，則目標函數(shù)z=ax+y的最大值為9．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，結(jié)合已知求得a，得到線性目標函數(shù)，化為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}y-1≥0\\ x-y+2≥0\\ x+4y-8≤0\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+4y-8=0}\end{array}\right.$，解得A（4，1）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x-y+2=0}\end{array}\right.$，解得B（-1，1）．
∵直線x=a（a＞1）將Ω分成面積之比為1：4的兩部分，
∴$\frac{1}{2}（4-a）•（\frac{8-a}{4}-1）=\frac{5}{2}×\frac{1}{5}=\frac{1}{2}$，解得a=2．
∴目標函數(shù)z=ax+y=2x+y，化為y=-2x+z，由圖可知，
當直線y=-2x+z過A時，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為9．
故答案為：9．

點評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．