Question

1．已知關于x的不等式x²+2ax+b²≤0的解集為A．
（1）若a是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，求A不為空集的概率；
（2）若a是從區(qū)間[0，3]上任取的一個數，b是從區(qū)間[0，2]上任取的一個數，求A不為空集的概率．

Answer 1

分析 （1）方程有實根的充要條件為△=（2a）²-4b²≥0，即a²≥b²，由此利用列舉法能求出A不為空集的概率．
（2）試驗的全部結果構成的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，滿足題意的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，由此利用幾何概型能求出A不為空集的概率．

解答 解：（1）方程有實根的充要條件為△=（2a）²-4b²≥0，即a²≥b²，…（1分）
∵a是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，
∴基本事件共有n=4×3=12個，
其中（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）滿足條件A不為空集，
∴A不為空集的概率$P=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$．…（5分）
（2）試驗的全部結果構成的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2}，…（7分）
滿足題意的區(qū)域為{（a，b）|0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b}，…（9分）
所以，A不為空集的概率為$P=\frac{{3×2-\frac{1}{2}×{2^2}}}{3×2}=\frac{2}{3}$．…（10分）

點評 本題考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意列舉法和幾何概型的合理運用．