Question

已知函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

6

）-2sin²（x+

π

4

）
（1）若f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）恒成立，求|x₂-x₁|的最小值；
（2）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,函數(shù)恒成立問題,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）首先通過恒等變換把三角函數(shù)關(guān)系是變形成余弦型函數(shù)的形式，進一步利用恒成立問題求出結(jié)論．
（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)自變量的取值范圍求函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=cos（2x+

π

6

）-2sin²（x+

π

4

）=

3

2

cos2x-

1

2

sin2x-1+cos(2x+

π

2

)
=

3

2

cos2x-

3

2

sin2x-1=

3

cos(2x+

π

3

)-1       …（6分）
由于：f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）
所以：|x₂-x₁|的最小值相當于函數(shù)在半個周期中函數(shù)最值的差．
即：T=

2π

2

=π
所以：|x₂-x₁|=

π

2

（2）∵0≤x≤

π

2

∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

∴-1≤cos(2x+

π

3

)≤

1

2

∴-

3

-1≤

3

cos(2x+

π

3

)-1≤

3

2

-1
即f（x）的值域為[-

3

-1，

3

2

-1]

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)的恒等變換，恒成立問題的應(yīng)用，利用函數(shù)的定義域求余弦型函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題型．